题目

已知.
（1）时，求的极值;
（2）当时，讨论的单调性;
（3）证明：（，，其中无理数）

答案

（1）极大值，极小值.（2）当时，上单调递减，单调递增， 单调递减；当时，单调递减；当时，上单调递减，单调递增，单调递减；（3）构造函数，利用函数的单调性处理

解析

试题分析： 1分
（1）令，知在区间上单调递增，上单调递减，在单调递增.故有极大值，极小值.………4分
（2）当时，上单调递减，单调递增，单调递减，当时，单调递减
当时，上单调递减，单调递增，单调递减 7分
（3）由（Ⅰ）当时，在上单调递减.
当时
∴，即
∴


∴.  10分
点评：近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、反证法）的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合