题目

若是函数在点附近的某个局部范围内的最大（小）值，则称是函数的一个极值，为极值点．已知，函数．
（Ⅰ）若，求函数的极值点；
（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范围．
（为自然对数的底数）

答案

（1）的极小值点为1和，极大值点为．
（2）

解析

试题分析：解：（Ⅰ）若，则，．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减． …2分
又因为，，所以
当时，；当时，；
当时，；当时，． …4分
故的极小值点为1和，极大值点为．…6分
（Ⅱ）不等式，
整理为．…（*）
设，
则（）
． …8分
①当时，
，又，所以，
当时，，递增；
当时，，递减．
从而．
故，恒成立． …11分
②当时，
．
令，解得，则当时，；
再令，解得，则当时，．
取，则当时，．
所以，当时，，即．
这与“恒成立”矛盾．
综上所述，．…14分
点评：解决的关键是对于导数在研究函数中的运用，求解极值和最值，以及不等式的恒成立问题，属于基础题。