题目
(本小题共14分)函数,
,
.
(1)①试用含有的式子表示
;②求
的单调区间;
(2)对于函数图像上的不同两点,
,如果在函数图像上存在点
(其中
在
与
之间),使得点
处的切线
∥
,则称
存在“伴随切线”,当
时,又称
存在“中值伴随切线”。试问:在函数
的图像上是否存在两点
、
,使得
存在“中值伴随切线”?若存在,求出
、
的坐标;若不存在,说明理由。
答案
(1),
增区间为
,减区间为
(2)不存在
解析
解:(1)① ∵
∴
. (2分)
② ∵
,
∴当
时
,
当时,
∴增区间为
,减区间为
(2)不存在(7分) (反证法)
若存在两点,
,不妨设
,则
曲线在
的切线斜率
又
∴由得
①
法一:令
∴在
上为增函数
又 ∴
与①矛盾
∴不存在 (16分)
法二:令,则①化为
②
令 ∵
∴在
为增函数
又∴
此与②矛盾,∴不存在