题目

(本题满分15分)
已知偶函数满足：当时，，当时，
(1) 求当时，的表达式；
(2) 若直线与函数的图象恰好有两个公共点，求实数的取值范围。
(3) 试讨论当实数满足什么条件时，函数有4个零点且这4个零点从小到大依次成等差数列。

答案

（1）
（2）2＜a＜4
（3），

解析

解：（1）设则，
又偶函数

 ………………………………2分
（2）（Ⅰ）时



（Ⅱ）时，都满足
综上，所以 ……………………………………2分 
（3）零点，与交点4个且均匀分布
（Ⅰ）时
得……2分

（Ⅱ）时，时
且
 ………………………………………………2分
所以 时，
（Ⅲ）时m=1时 ………………………………………………1分
（IV）时，

此时
所以 （舍）
且时，时存在 ………2分
综上：
①时，
②时，
③时，符合题意………1分