题目

(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)
(1)求证：函数图象交于不同的两点；
(2)设（1）问中交点为,求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。

答案

（1）证明略
（2）()

解析

(1)由消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0
∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点（6分）
(2)解设方程ax2+2bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=
|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2
　
（8分）
∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0
∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)（10分）
∵的对称轴方程是
∈(－2,－)时，为减函数
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈()（12分）