题目

（．(本题满分12分)
已知二次函数和“伪二次函数” （、、），
（I）证明：只要，无论取何值，函数在定义域内不可能总为增函数；
（II）在二次函数图象上任意取不同两点，线段中点的横坐标为，记直线的斜率为，
（i）求证：；
（ii）对于“伪二次函数”，是否有（i）同样的性质?证明你的结论.

答案

解：（I）如果为增函数,
则(1)恒成立, 
当时恒成立, (2)由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.
则函数不可能总为增函数.--------3分
（II）（i） =.
由, 则--------5分
（ii）不妨设,对于“伪二次函数”:

=, (3)  --------7分
由(ⅰ)中(1),如果有(ⅰ)的性质，则 , (4)
比较(3)( 4)两式得，
即：，(4)  --------10分
不妨令，  (5)
设，则，
∴在上递增， ∴.
∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,.
∴“伪二次函数”不具有(ⅰ)的性质. -------12分

解析

略