题目

(12分)已知函数在上是增函数，在上为减函数。
(1)求f(x) ,g(x)的解析式；
(2)求证：当x>0时，方程f(x)=g(x)+2有唯一解。

答案

解：（1）∵f(x)=x-alnx在（1，2]上是增函数，
∴f/（x）=2x-在（1，2]上大于等于零恒成立
∴a≤2x2
∴a≤2
又∵g(x)=x-在(0,1)上为减函数。
∴g/(x)=1-在（0，1）上小于等于零恒成立
∴a≥2
∴a≥2
∴a=2
∴f(x)=x-2lnx, g(x)=x-2
（2）设F(X)=" f(x)-" g(x)-2
∴F(X)= x-2lnx-x+2-2
∴F/(X)= 2X--1+=
∵x>0
∴0<x<1时F/(X)〈0，F(X)单调递减，x＞1时F/(X)＞0 F(X)单调递增。
∴F(X)在x=1时取最小值
又∵F(1)=0
∴F(X)在x＞0时有唯一解x=1

解析

略