题目

（本小题满分12分）二次函数f（x）满足且f（0）=1.
(1)求f（x）的解析式;
(2)在区间上,y= f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.

答案

解： (1)设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,所以,∴f(x)=x²-x+1.
(2)由题意得x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x²-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.
设g(x)= x²-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x) 在[-1,1]上递减.
故只需g(1)>0,即1²-3×1+1-m>0,解得m<-1.

解析

略