题目

（本题满分16分）已知函数．
（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。

答案

解：（1）方程，即，变形得，
显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，
有且仅有一个等于1的解或无解，
结合图形得.……………………6分
（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，
①当时，（*）显然成立，此时；  ……………………8分
②当时，（*）可变形为，………………………10分
令 …………………………12
因为当时，，当时，，
所以，故此时. …………………15分
综合①②，得所求实数的取值范围是. …………………………………16分

解析

第一问中，方程，即，变形得，
显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，
有且仅有一个等于1的解或无解，
结合图形得.
第二问，不等式对恒成立，即（*）对恒成立，
①当时，（*）显然成立，此时； 
②当时，（*）可变形为
令
因为当时，，当时，，
所以，故此时